حل معادلة من الدرجة الثانية

معادلة تربيعية:

وهي المعادلة من الترجة الثانية حيث تكون المعادلة وفق الصيغة التالية

aX2 + bX  + c = 0

حيث x  هو المجهول المراد إيجاده أما  a,b,c فيطلق عيهم الثوابت او المعاملات.

طلق على a المعامل الرئيسي وعلى c الحد الثابت . و يشترط أن يكون a لا تساوي صفر. أما إذا كان a=0 عندها تصبح المعادلة خطية أي من الدرجة الأولى.

حل معادلة تربيعية:

للمعادلة التربيعية حلّان وليس بالضرورة أن يكونا مختلفين, تسمّى جذور المعادلة و ليس من الضرورة أن تكون هذه الجذور أعدادا حقيقيةً دوما. يتم إيجاد حلول المعادلة التربيعية بإحدى الطرق التالية:

1-الصيغة التربيعية:

الصيغة التربيعية أو الشكل العام هي العبارة الرياضية التي يتم بها حساب حلول المعادلات التربيعية وتعطى بالعلاقة التالية:

{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

الرمز “±” يعني وجود حلين هما:

{\displaystyle x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{,}}\quad x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

بحيث يكون جزور المعادلة التربيعية هما x1,x2

ولتبسيط الحل يمكن ان نطلق كلمة مميز المعادلة التربيعية Δ وهو يحسب من العلاقة

Δ=b-4ac

بذلك يمكن كتابة المعادلة بالشكل التالي

{\displaystyle x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{,}}\quad x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}

ملاحظة هامة :

إذا كان المميز اكبر من او يساوي صفر فهذا يعني بان جزور المعادلة حقيقية , أما إذا كان المميز أصغر من صفر فهذا يعني بأن جزور المعادلة غير حقيقية او تخيلية , 

مثال توضيحي:

اوجد جزور المعادلة التالية   5X2 + 6X  + 1 = 0

الحل : 

اولا: نحدد المعاملات a=5 , b=6 , c=1

ثانيا: نوجد مميزل المعادلة Δ = 16

ثالثا: نوجد جزور المعادلة بالتعويض المباشر في القانون العام السابق

x1= -1  , x2=-0.2

 

2- طريقة إكمال المربع:

 يتم استعمال طريقة إكمال المربع بتبسيط المعادلة وتحويلها إلى الشكل:

{\displaystyle x^{2}+2xh+h^{2}=(x+h)^{2}\!}

ويتم ذلك بإضافة عدد ثابت ذو قيمة مناسبة إلى كلا الطرفين لجعل الطرف الأيسر يظهر في شكل مربع كامل. ويتم تطبيق الطريقة وفق المراحل التالية

  1. يتم قسمة جميع معاملات الأطراف على a

  2. ننقل المعامل الثابت{\displaystyle {\frac {c}{a}}\!} إلى الجانب الآخر للمعادلة (الجانب الأيمن).

  3. نضيف عددا يساوي {\displaystyle ({\frac {b}{2a}})^{2}\!} إلى الطرفين وهذا يجعل الطرف الأيسر يبدو في شكل مربع كامل.

  4. نكتب الطرف الأيسر على الشكل التربيعي ونبسط الطرف الأيمن إن أمكن.

  5. نشكل معادلتين خطيتين بمساواة الجذر التربيعي للطرف الأيسر بالجذر التربيعي الموجب والسالب للطرف الأيمن.

  6. نحل المعادلين الخطتين المشكلتين.

مثال توضيحي:

اوجد جزور المعادلة التالية   X2 + 2X  – 2 = 0

الحل : 

 X2 + 2X  – 2 = 0

 X2 + 2X  = 2 

 X2 + 2X  +1= 2+1 

 X2 + 2X  = 2 

 (X+1)2 = 3

 (X+1) = ±√3

X = -1±√3

x1= -1+√3

x2= -1-√3

 

كلمات بحث الزوار

كيفية حساب جدور تربيعية

اضف رد

لن يتم نشر البريد الإلكتروني . الحقول المطلوبة مشار لها بـ *

*